線形代数例

$[\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ 4 g & 4 h & 4 i \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} | - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (e (4 i) - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 2.2

$4$ を $e$ の左に移動させます。

$a (4 e i - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (4 e i - 4 h f) - b (d (4 i) - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 3.2

$4$ を $d$ の左に移動させます。

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (d (4 h) - 4 g e)$

ステップ 4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$a (4 e i) + a (- 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a \cdot 4 e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.3

$4$ を $a$ の左に移動させます。

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.6

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) + 4 b (g f) + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.7

括弧を削除します。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h - 4 g e)$

ステップ 5.8

分配則を当てはめます。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h) + c (- 4 g e)$

ステップ 5.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h + c (- 4 g e)$

ステップ 5.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h - 4 e c g$

線形代数 例

線形代数例